Sekolah Matematika Sains (SMS): Rumus Matematika; Vektor

Dalam materi kali ini, kita akan membahas tentang rumus matematika vektor, pengertian besaran vektor, pengertian besaran skalar, perkalian skalar dengan vektor, sifat-sifat skalar dengan vektor, penjumlahan dan pengurangan vektor, notasi vektor, dan panjang vektor.

Pengertian Besaran Vektor

Dalam matematika dan fisika dikenal dua besaran, yaitu besaran vektor dan besaran skalar

Besaran skalar adalah besaran yang memiliki besar (magnitude) saja, misalnya waktu, suhu, panjang, luas, volume, massa dan sebagainya.

sedangkan,

Besaran Vektor adalah besaran yang memiliki besar (magnitude) dan arah (direction), misalnya kecepatan, percepatan, gaya, momentum, momen, impuls, medan magnetik dan sebagainya.

Vektor adalah suatu ruas garis berarah yang memiliki besaran (panjang, nilai) dan arah tertentu, dapat dinyatakan dalam grafis berikut.

Bila u menyatakan garis berarah dari A ke B maka dituliskan lambang

This is the rendered form of the equation. You can not edit this directly. Right click will give you the option to save the image, and in most browsers you can drag the image onto your desktop or another program.

( dibaca vektor AB mewakili vektor u, sedangkan AB adalah vektor yang pangkalnya A dan ujungnya B)

1. Dua buah vektor disebut sama jika dan hanya jika panjang dan arah vektor sama

vektor a dan vektor b sama, artinya panjangnya sama dan arahnya sama.

vektor a dan vektor c tidak sama, walaupun panjangnya sama tetapi arahnya berbeda, dalam hal ini

2. Perkalian Skalar dengan Vektor

Bila k adalah sebuah skalar maka perkalian dengan vektor a dinyatakan dengan k a, sebuah vektor yang searah dengan a dan panjangnya k kali panjang a

3. Sifat-sifat skalar dengan vektor

4. Penjumlahan dan Pengurangan Vektor

Penjumlahan dua vektor dapat dilakukan dengan menggunakan metode segitiga (aturan cosinus, metode jajarangenjang (aturan cosinus), metode poligon dan metode penguraian vektor.

Pengurangan vektor sama dengan penjumlahan vektor dengan salah satu vektor negatif dari vektor semula.

untuk memudahkan dalam operasi geometri, bentuknya sebagai berikut : perhatikan arah anak panahnya

Notasi Vektor

Vektor disini dinyatakan dengan huruf yang diberi arah garis diatasnya.

Vektor dapat dinyatakan dalam dua dimensi bahkan tiga dimensi atau lebih. Jika dinyatakan dalan tiga dimensi maka vektor memiliki vektor satuan yang dinyatakan dalam i, j, dan k.

Vektor satuan adalah vektor yang besarnya satu satuan dan arahnya sesuai dengan sumbu utama, yakni :

i adalah vektor satuan yang searah sumbu x (absis)

j adalah vektor satuan yang searah sumbu y (ordinat)

k adalah vektor satuan yang searah sumbu z (aplikat)

$\overrightarrow{u}=a_{x}i + a_{y}j+a_{z}k$ ,

dengan a_x sebagai komponen arah sumbu x, dan a_y komponen arah sumbu y dan a_z adalah komponen arah sumbu z.

Bentuk tulisan vektor

$\overrightarrow{u}=a_{x}i + a_{y}j+a_{z}k$

dalam matematika lebih sering dituliskan dalam

$\overrightarrow{u}=\begin{pmatrix} a_{x}\\ a_{y}\\ a_{z}\end{pmatrix}$

dengan komponen dalam bentuk indeks angka

$\overrightarrow{u}=\begin{pmatrix} a_{1}\\ a_{2}\\ a_{3}\end{pmatrix}$

Panjang vektor (besar,nilai) dituliskan seperti tanda mutlak dalam aljabar

$\left | \overrightarrow{u} \right |=\sqrt{a_{x}^{2}+a_{y}^{2}+a_{z}^{2}}$

atau dalam indeks angka

$\left | \overrightarrow{u} \right |=\sqrt{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}}$

Bila vektor ditentukan oleh koordinat

$A\left ( x_{1},y_{1},z_{1} \right )$

$B\left ( x_{2},y_{2},z_{2} \right )$

maka vektor AB dinyatakan dengan

$\overrightarrow{AB}=\bar{b}-\bar{a}=\begin{pmatrix} x_{2}\\ y_{2}\\ z_{2}\end{pmatrix}-\begin{pmatrix} x_{1}\\ y_{1}\\ z_{1}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} x_{2}-x_{1}\\ y_{2}-y_{1}\\ z_{2}-z_{1}\end{pmatrix}$

panjang vektor AB

$\left | \overrightarrow{AB} \right |=\sqrt{\left ( x_{2}-x_{1} \right )^{2}+\left ( y_{2}-y_{1} \right )^{2}+\left ( z_{2}-z_{1} \right )^{2}}$

Sedangkan vektor satuan dari suatu vektor yang dinyatakan sebagai

$\bar{a}=\begin{pmatrix} a_{x}\\ a_{y}\\ a_{z}\end{pmatrix}$

dinyatakan dengan

$\bar{e_{a}}=\frac{\bar{a}}{\left | \bar{a} \right |}=\frac{\begin{pmatrix} a_{x}\\ a_{y}\\ a_{z}\end{pmatrix}}{\sqrt{a_{x}^{2}+a_{y}^{2}+a_{z}^{2}}}$

panjang vektor satuan adalah 1 satuan.

Cukup sekian semoga bermanfaat.

Sekolah Matematika Sains (SMS)

Rumus Matematika; Vektor

Pengertian Besaran Vektor